Matematika dan Ilmu Alamiah Dasar
A.
HIMPUNAN DAN BILANGAN
1. Jelaskan pengertian himpunan dan anggota himpunan !
Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang
dapat didefinisikan dengan jelas, sehingga dengan tepat dapat
diketahui objek yang termasuk himpunan dan yang tidak termasuk dalam himpunan
tersebut.
Anggota himpunan adalah objek-objek atau benda-benda
benda yang ada di dalam suatu himpunan.
2. Sebutkan macam-macam himpunan berdasarkan jumlah
anggotanya!
Himpunan kosong, yaitu himpunan yang tidak mempunyai anggota. Dilambangkan dengan “ ” atau
{ }.
Contoh : bilangan prima genap > 10
Himpunan semesta, yaitu himpunan yang anggotanya semua objek pembicaraan. Himpunan semesta
dilambangkan dengan S atau U.
Contoh : S = {-4, 5, 7, 9} dan A = {7, 9}
maka S merupakan semesta dari himpunan A
Himpunan berhingga dan himpunan tak berhingga. Himpunan
dikatakan berhingga jika himpunan tersebut mempunyai anggota yang banyaknya
berhingga. Himpunan dikatakan tak berhingga jika himpunan tersebut
mempunyai anggota yang banyaknya tidak berhingga.
Contoh : H = {x | x=
1, 2, 3, 4, 5, 6, …}, H disebut himpunan tidak berhingga.
A = {x | x= 1, 2, 3,
4, …, 10}, A disebut himpunan berhingga.
Himpunan bagian (Subset). Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B
ditulis “A⊂B”, jika setiap anggota A merupakan anggota dari B.
Contoh : A = {2, 3, 5}
dan B = {1, 2, 3, 4, 5}. Maka A⊂B.
P = {2, 3, 5, 7} dan Q
= { 1, 3, 5, 7, 9}. Maka P⊄Q
Dua himpunan A dan B dikatakan sama,
ditulis “A=B”, jika dan hanya jika A⊂B dan B⊂A.
Contoh : A = {2, 3,
5,7} dan B = {2, 3, 5, 7}. Maka A=B.
Himpunan berpotongan. Dua himpunan A dan B dikatakan berpotongan ditulis “A∝B” jika dan hanya jika
ada anggota yang menjadi anggota B.
Contoh : A = {2, 3,
5,} dan B = {1, 3, 5, 7, 9}. Maka A∝B.
Himpunan lepas. Dua himpunan A dan B dikatakan lepas ditulis “//” jika dan hanya jika
kedua anggota himpunan tersebut tidak kosong dan tidak mempunyai anggota yang
sama.
Contoh: A = {3, 5,
7,11} dan B = {2, 4, 6, 8}. Maka A ∕∕ B.
3. Jelaskan operasi
antar himpunan berserta contohnya!
Dalam teori
himpunan ada aturan atau hukum yang menghubungkan himpunan yang satu dengan
yang lain. Ada tiga operasi himpunan, yaitu : operasi gabungan, operasi irisan,
dan operasi selisih.
1. OPERASI
GABUNGAN (UNION)
Operasi
Gabungan (union) himpunan A dan himpunan B, ditulis sebagai A È B, adalah
sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota A atau anggota B atau anggota
keduanya, didefinisikan sebagai berikut :
A È B = { x
| x Î A V x Î B }
Contoh :
Jika A = {
2,4,6,8,10 } dan
B = {
1,3,5,7,9 } ,maka
A È B = {
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 }
2. OPERASI
IRISAN (INTERSECTION)
Irisan
(interseksi) himpunan A dan himpunan B, ditulis sebagai A Ç B, adalah sebuah
himpunan yang anggotanya merupakan anggota bersama dari himpunan A dan B, dapat
didefinisikan sebagai berikut :
A ∩ B = {x|
x ϵ A ʌ x ϵ B } (Tanda ʌ artinya dan)
Contoh :
· Jika A = {
p,q,r,s } dan B{ r,s,t},maka A ∩B = {r,s}.
· Jika H = {
2,4,6,8,10 },dan I = { 1,3,5 },maka H ∩ I = Ø = { }
3. OPERASI
SELISIH
Selisih
(difference) dari himpunan A dengan himpunan B, ditulis sebagai A – B, adalah
sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota himpunan A yang bukan
merupakan anggota himpunan B. Jadi A – B berbeda dengan B – A, daerah yang
diarsir merupakan selisih A dan B. Dapat didefinisikan sebagai berikut :
A – B = { x
| x Î A ʌ x Ï B }
Contoh :
· Jika A = {
a, b, c, d, e, f },dan B = { e, f, h }, maka A – B = { a, b, c, d }
· Jika A = {
1, 2, 3, 4, 5 }, dan B = { 1, 3, 7, 5 }, maka A – B = { 2, 4 }
· Jika A = {
1, 2, 3 }, dan B = { 1, 2, 3, 4, 5 }, maka A – B = Ø
4. Jelaskan mengenai himpunan bilangan,dan
sebutkan sifat-sifat bilangan!
himpunan adalah
(kumpulan objek yang memiliki sifat yg dapat didefinisikan dengan jelas) segala
koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan
Bilangan adalah
suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran atau
lebih mudahnya bilangan adalah suatu sebutan untuk menyatakan
jumlah/banyaknya sesuatu. Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili
suatu bilangan disebut sebagai angka atau lambang bilangan.
Sifat sifat bilangan.
Sifat
Komutatif
Dalam
penjumlahan dan perkalian, angka yang akan dijumlahkan atau dikalikan dapat
dibolak – balik :
5 + 2 = 7
dan 2 + 5 = 7
5 x 2 = 10
dan 2 x 5 = 10
Ini adalah
merupakan sifat komutatif, yaitu jika angka yang akan dijumlahkan atau
dikalikan menghasilkan hasil yang sama. Dalam sebuah variable dapat dituliskan
:
a + b = b +
a
a x b = b x
a
sifat ini
tidak berlaku pada operasi pengurangan dan pembagian.
Contoh :
5 – 2 = 3
sedangkan 2 – 5 = -3
4 : 2 = 2
sedangkan 2 : 4 = 0,5
Sifat
Asosiatif
Dalam
operasi penjumlahan dan perkalian pada tiga bilangan, tidak menjadi masalah
apakah anda menggabungkan dua bilangan pertama kemudian bilangan ketiga, atau
jika anda mulai dengan menggabungkan bilangan kedua dan ketiga baru kemudian
bilangan pertama.
Contoh :
5 + ( 3 + 6
) = 14 dan ( 5 + 3 ) + 6 = 14
5(3x6) = 90
dan (5x3)6 = 90
Dalam bentuk
variable dapat dituliskan sebagai berikut
a + ( b + c
) = ( a + b ) + c
a(b xc ) =
(axb)c
sedangkan
pada operasi pengurangan dan pembagian sifat asosiatif tidak berlaku.
Sifat
Distributif
Perkalian
dapat didistribusikan pada operasi penjumlahan atau pembagian.
Contoh :
3( 4 + 5 ) =
3 x 9 = 27 dan 3(4) + 3(5) = 12 + 15 = 27
Dalam bentuk
variable dapat dinyatakan dengan :
a( b + c ) =
a(b) + a(c)
pada operasi
pambagian tidak dapt di distribusikan pada operasi penjumlahan ataupun operasi
pengurangan.
5. Jelaskan perbedaan bilangan bulat
&bilangan rill!
Bilangan
Real
Bilangan
real adalah bilangan yang merupakan gabungan dari bilangan rasioanal dan
bilangan irrasioanal sendiri.
Contohnya :
0, 1, 2, ½,
4/7, 55/7, √2, √3, √5, .... dan seterusnya.
Bilangan
Bulat
Bilangan
bulat yaitu bilangan yang terdiri atas bilangan negatif, bilangan 0 (nol), dan
bilangan postitif, yaitu : ..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... , dan seterusnya
B.
RELASI
1. Definisi
Relasi
Relasi
adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan ke himpunan lain. Suatu
relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan atau perkawanan atau
korespondensi dari anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan B.
Jika
diketahui himpunan A = {Elisabet,Feby A,Feby S,Frima,Julia }; B =
{Chatime,Dum-Dum,Starbucks,JCO,Soju}, maka relasi "suka dengan minuman"
himpunan A ke himpunan B dapat disajikan dalam diagram panah, matriks relasi.
2.
Diagram Panah
3. Matriks
relasi
Jika relasi direpresentasikan dengan table, maka kolom
pertama table menyatakan daerah asal, sedangkan kolom kedua menyatakan daerah
hasil.
Table 1.3
|
A
|
B
|
|
Eli
|
INF0422
|
|
Feby A
|
INF0421
|
|
Feby S
|
INF0221
|
|
Frima
|
INF0422
|
|
Julia
|
INF0421
|
Misalkan R adalah relasi dari A = {a1, a2,
. . .,am} dan B = {b1, b2, . . .,bn},
relasi R dapat disajikan dengan matriks M = [mij]
Yang dalam hal ini :
Dengan kata lain, elemen matriks pada posisi (i,j)
bernilai 1 jika ai dihubungkan dengan bj dan bernilai 0
jika ai tidak dihubungkan dengan bj.
Relasi R pada table 1 dapat dinyatakan dengan matriks
:
yang dalam hal ini, a1 = Eli, a2
= Feby, a3 = Julia, dan b1 = INF022.
4.
Relasi komposisi dan relasi invers
a)
Relasi komposisi
Dari dua jenis fungsi f(x) dan g(x) kita dapat
membentuk sebuah fungsi baru dengan menggunakan sistem operasi komposisi.
operasi komposisi biasa dilambangkan dengan "o" (komposisi/bundaran).
fungsi baru yang dapat kita bentuk dari f(x) dan g(x) adalah:
(g o f)(x) artinya f dimasukkan ke g
(f o g)(x) artinya g dimasukkan ke f
Sifat-sifat Fungsi Komposisi
Fungsi
komposisi memiliki beberapa sifat, diantaranya:
i.
Tidak Komutatif
(g o f)(x) =
(f o g)(x)
ii.
Asosiatif
(f o (g o
h))(x) = ((f o g) o h)(x)]
iii.
Fungsi Identitas I(x) = x
(f o I)(x) =
(I o f)(x) = f(x).
b)
Relasi invers
Apabila
fungsi dari himpunan A ke B dinyatakan dengan f, maka invers dari fungsi
f merupakan sebuah relasi dari himpunan A ke B. Sehingga, fungsi invers
dari f : A -> B adalah f-1: B -> A. dapat
disimpulkan bahwa daerah hasil dari f-1 (x) merupakan daerah
asal bagi f(x) begitupun sebaliknya.
Cara menenukan fungsi invers bila fungsi f(x) telah diketahui:
i.
Ubah persamaan y = f (x) menjadi
bentuk x sebagai fungsi dari y.
ii.
Hasil perubahan bentuk x sebagai fungsi y itu
dinamakan sebagai f-1(y)
iii.
Ubah y menjadi x [f-1(y) menjadi
f-1(x)]
5.
Perbedaan sifat-sifat relasi
a)
Sifat Reflektif
Misalkan R sebuah relasi yang didefinisikan
pada himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat refleksif jika untuk
setiap p ∈ P berlaku
(p, p) ∈ R.
Contoh:
Diberikan himpunan P = {1, 2, 3}. Didefinisikan
relasi R pada himpunan P dengan hasil relasi adalah himpunan S
= {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3), (3,2)}. Relasi R tersebut
bersifat reflektif sebab setiap anggota himpunan P berpasangan atau
berelasi dengan dirinya sendiri.
b)
Sifat Simetris
Misalkan R sebuah relasi pada himpunan P. Relasi
R dikatakan bersifat simetris, apabila untuk setiap (x, y) ∈ R berlaku (y, x) ∈ R.
Contoh:
Diberikan himpunan P = {1, 2, 3}. Didefinisikan
relasi R pada himpunan P dengan R = {(1,1) , (1,2), (1,3),
(2,2), (2,1), (3,1), (3,3)}. Relasi R bersifat simetris sebab untuk
setiap (x,y) ∈ R,
berlaku (y,x) ∈ R.
c)
Sifat Transitif
Misalkan R sebuah relasi pada himpunan P. Relasi
R bersifat transitif apabila untuk setiap (x,y) ∈ R dan (y,z) ∈ R maka berlaku (x,z) ∈ R.
Contoh:
Diberikan himpunan P = {1, 2, 3}. Didefinisikan
relasi pada himpunan P dengan hasil relasi adalah himpunan R =
{(1,1), (1,2), (2,2), (2,1), (3,3)}. Relasi R tersebut bersifat transitif
sebab (x,y) ∈ R dan
(y,z) ∈ R maka berlaku (x,z) ∈ R.
d)
Sifat Antisimetris
Misalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P.
Relasi R dikatakan bersifat antisimetris, apabila untuk setiap (x,y)
∈ R dan (y,x) ∈ R berlaku x = y.
Contoh:
Diberikan himpunan C = {2, 4, 5}. Didefinisikan
relasi R pada himpunan C dengan R = { (a,b) ∈ a kelipatan b, a,b ∈ C} sehingga diperoleh R = {(2,2),
(4,4), (5,5), (4,2)}. Relasi R tersebut bersifat antisimetris
C. Fungsi
1.
Definisi
Fungsi
Adalah
sekumpulan perintah operasi program yang dapat menerima argumen input dan dapat
memberikan hasil output yang dapat berupa nilai ataupun sebuah hasil operasi.
nama fungi yang didefinisikan sendiri oleh pemrogram tidak boleh sama dengan
nama build-in function pada compiler C++. Fungsi digunakan agar pemrogram
dapat menghindari penulisan bagian program (kode) berulang-ulang, dapat
menyusun kode program agar terlihat lebih rapi dan kemudahan dalam debugging
program.
2. Tujuan penggunaan Fungsi
a) Program
menjadi terstruktur, sehingga mudah di pahami dan mudah di kembangkan
dengan memisahkan langkah-langkah detail ke satu atau lebih fungsi-funsi, maka fungsi utama menjadi
lebih pendek, jelas dan mudah di mengerti
b) Dapat
mengurangi pengulangan kode program, langkah-langkah program yang sama
dan dipakai berulang-ulang di program dapat di tuliskan sekali saja secara
terpisah dalam bentuk fungsi-fungsi. selanjutnya bagian program yang
membutuhkan langkah-langkah ini tidak perlu selalu menuliskanya tetapi cukup
memanggil funsi-funsi tersebut.
Fungsi
dapat diimplementasikan dalam tiga bentuk :
a) Pendeklarasian fungsi sebagai
prototype fungsi.
b) Pendefinisian
fungsi.
c) Pemanggilan
fungsi dari program lain.
3.
Fungsi
Injektif (satu-ke-satu)
Fungsi f disebut
fungsi satu-satu (one-to-one) atau injektif jika semua preimage adalah
unik. Dengan kata lain, jika a ≠ b maka f (a) ≠ f (b).
Atau jika a = b maka f (a) = f (b).
Fungsi f dikatakan
satu-ke-satu (one-to-one)
atau (injective) jika tidak ada dua elemen himpunan memiliki bayangansama.
Contoh 1
:
Relasi f = {(1, w), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u,v, w, x} adalah fungsi
satu-ke-satu. Di
sini f(1) = w, f(2) = u, dan f(3) = v. Daerah asal dari f adalah A dan daerah
hasil adalah B. Jelajah dari f adalah {u, v, w}, yang dalam hal ini anggota
dari himpunan B. Mengapa dikatakan fungsi satu-ke-satu? Karena, anggota daerah
asal dari f adalah A memiliki tepat satu pasangan pada daerah kawan dari f
adalah B. Dan tidak ada dua elemen
himpunan
A yang memiliki bayangan
yang sama pada himpunan B.
5. Fungsi Surjektif ( pada/outo)
Fungsi f dikatakan surjektif (surjective) atau pada
(onto) jika setiap elemen himpunan B merupakan bayangan dari satu atau lebih
elemen himpunan A. Fungsi f disebut fungsi pada (onto)
atau surjektif jika setiap y pada B memiliki preimage.
Dengan kata lain, untuk setiap y dalam B terdapat sebuah x dalam
A demikian hingga f (x) = y.
Contoh 1 :
Relasi f =
{(1, w), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} merupakan fungsi
pada karena semua anggota B merupakan jelajah dari f. Selain itu anggota daerah
asal dari f adalah A memiliki tepat satu pasangan pada daerah kawan dari f
adalah B.
6.
Domain,
Kodomain & Range
Domain adalah daerah asal, kodomain
adalah daerah kawan, sedangkan range adalah daerah hasil.
contoh 1 :
Diketahui himpunan P = { 1,2,3,4 } dan himpunan Q = {
2,4,6,8,10,12 }
Relasi dari himpunan P ke himpunan Q dinyatakan dengan
” setengah dari “. Jika relasi tersebut dinyatakan dengan
himpunan pasangan berurutan menjadi : { (1,2),(2,4),(3,6),(4,8) }.
Relasi di
atas merupakan suatu fungsi karena setiap anggota himpunan P
mempunyai tepat satu kawan anggota himpunan Q.Dari fungsi di atas maka :
Domain/daerah
asal = himpunan P = { 1,2,3,4 }
Kodomain/daerah kawan = himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }
Range/daerah hasil = { 2,4,6,8 }.
Sumber:
Komentar
Posting Komentar